根系

当你把一个半单李代数对着卡当子代数对角化时，那些非对角的方向会自行排列成欧氏空间中一组有限的向量星座——根。值得注意的是，这些向量构成一个刚性而高度对称的图样：把任一根关于垂直于另一根的超平面作反射，你又会落回到某个根上。根系把这一切刚性提炼成纯粹的组合几何，与产生它的李代数脱钩。

抽象地说，根系是张成欧氏空间 V 的一组有限的非零向量集 R，满足：（1）对每个根 alpha，R 中 alpha 的倍数只有 alpha 与 -alpha；（2）关于垂直于 alpha 的超平面的反射 s_alpha 置换 R；（3）整性条件成立，即对一切根 alpha, beta，2(alpha . beta)/(beta . beta) 是整数。这些反射生成有限的外尔群。

选定一组正根就挑出一组单根的基；于是每个根都是单根的整系数组合，且系数同号。整性条件严重限制了单根之间可能的夹角（只能出现 90、120、135、150 度），正是这一点使不可约根系可被分类：它们落入四个无穷族 A_n, B_n, C_n, D_n 与五个例外型 G_2, F_4, E_6, E_7, E_8。