李代数
李括号
如果两个运算可交换，先做哪个都得到同样的结果，就没有什么可度量的了。李括号正是用来度量两件事不可交换程度的工具。想象把一本书绕水平轴稍微转一下、再绕竖直轴转一下，与反过来先后操作相比：两种最终朝向是不同的，而这个差异——在一阶意义下——恰好由一个新元素刻画，即这两个旋转的括号。
形式地，括号是双线性、反对称的映射 [ , ] : L x L -> L，它连同雅可比恒等式一起定义了李代数 L。反对称性是说 [x, y] = -[y, x]，因此括号在相等的两个变元上为零。当 L 嵌在结合代数 A 中时，标准的括号就是换位子 [x, y] = xy - yx；对矩阵而言即 XY - YX，它恰在 X 与 Y 可交换时为零。
当一个李代数的括号恒为零时，称它为阿贝尔的——此时它只是一个没有额外结构的向量空间，是某个交换群的线性影子。所以括号才是整套理论的全部内容：只知道向量空间什么也得不到，知道了括号则知道一切。
在 sl(2) 中取基 e = [0, 1; 0, 0]，f = [0, 0; 1, 0]，h = [1, 0; 0, -1]，则括号为 [h, e] = 2e，[h, f] = -2f，[e, f] = h。验证 [e, f] = ef - fe = [1, 0; 0, 0] - [0, 0; 0, 1] = h。
sl(2) 的三个定义括号，是整套理论的主力工具。
在微分几何中，同一名称用于向量场的括号 [X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)，它使流形上的向量场构成一个（无穷维）李代数。矩阵换位子是它的有限维特例。
又称
另见