结构常数

一旦给李代数选定一组基，括号就完全由它在基向量两两之间的作用所决定——其余的一切都由双线性自动推出。结构常数不过是记录这些基向量括号的“账本数字”。它们把抽象的括号变成一张具体的系数表，让你可以手算，或交给计算机处理。

固定 L 的一组基 e_1, ..., e_n。由于 [e_i, e_j] 仍是 L 中的元素，我们可把它按基展开：[e_i, e_j] = 对 k 求和 c_{ij}^k e_k。这些位于域中的标量 c_{ij}^k 就是结构常数。括号的反对称性迫使 c_{ij}^k = -c_{ji}^k，而雅可比恒等式则对它们施加一个二次约束：对一切 i, j, l，c_{ij}^m c_{ml}^k 关于 m 的循环求和为零。

结构常数依赖于所选的基——换基会按相应的张量法则变换它们——所以它们不是内蕴不变量。但两个李代数同构，当且仅当某种选基方式能使它们的结构常数重合，所以这些常数确实承载了完整的同构类型。