张量

张量是一个把若干向量与测量之间的多重线性关系打包起来的单一对象——它作为推广，把标量、向量、余向量与矩阵都囊括为低阶特例。直观上它是一个多维数组，在基的变换下以受控的方式变换，但现代观点抛弃数组、保留那个内在对象。

确切地说，向量空间 V 上 (p, q) 型张量是张量积 V^{⊗p} ⊗ (V*)^{⊗q} 中的元素；p 是逆变秩（V-因子数、上指标数），q 是协变秩（V*-因子数、下指标数）。等价地，由万有性质，这样的张量是一个把 q 个向量与 p 个余向量送到标量的多重线性映射。(0, 0) 型张量是标量，(1, 0) 型是向量，(0, 1) 型是余向量，(1, 1) 型是线性映射，(0, 2) 型是双线性形式。

张量上的运算包括张量积（升总秩）、缩并（把一个 V-口与一个 V*-口配对而降秩），以及——当 V 带有非退化双线性形式时——升降指标。在坐标下，(p, q) 型张量由一个多指标数组记录，含 n^{p+q} 个分量，但该数组的含义依赖于基；张量本身则不依赖。