纯张量

纯张量是最简单的一类张量：向量的单一乘积，如 v ⊗ w，不附加任何求和。它们是构筑一切张量的『原子』，靠加法拼装——但要紧的是，并非每个张量本身都是原子。一般张量是纯张量之和，往往无法再收缩回单个。

在 M ⊗ N 中，纯张量（又称简单张量或可分解张量）是形如 m ⊗ n 的元素。纯张量张成整个张量积，故每个元素都是有限和 Σ m_i ⊗ n_i，但此表示远非唯一，且该和通常本身并非纯张量。纯张量构成万有双线性映射 M × N -> M ⊗ N 的像——一个对加法不封闭的『锥』。

一个张量是否为纯是一个实在且可计算的问题。把 V ⊗ W 中的张量按基写成系数矩阵，它为纯当且仅当该矩阵的秩 ≤ 1；表为纯张量之和所需的最小个数即张量秩。例如在 V ⊗ V 中，对称元素 e_1 ⊗ e_2 + e_2 ⊗ e_1 不是纯张量——它的秩为 2。