克罗内克积

克罗内克积是两个线性映射的张量积在选定基、把一切写成矩阵后所呈现的样子。它通过把一个矩阵的缩放副本盖印到另一个矩阵的每个元素位置上，造出一个大的分块矩阵——这是一个本属抽象的构造的具体、可计算的面貌。

给定 m × n 矩阵 A 与 p × q 矩阵 B，它们的克罗内克积 A ⊗ B 是 mp × nq 的分块矩阵，其 (i, j) 块为 a_ij·B。若在所选基下 A 表示线性映射 S: V -> V'、B 表示 T: W -> W'，则在诱导的张量积基 {e_i ⊗ f_k} 下，A ⊗ B 表示张量积映射 S ⊗ T: V ⊗ W -> V' ⊗ W'。故克罗内克积恰是张量积映射的矩阵。

它服从干净的代数法则：只要乘积有定义就有 (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD)，(A ⊗ B)^T = A^T ⊗ B^T，对方阵 A（n × n）与 B（p × p）有 det(A ⊗ B) = det(A)^p · det(B)^m，trace(A ⊗ B) = trace(A)·trace(B)，且 A ⊗ B 的特征值是特征值之积 λ_i μ_j 的全体。它还经由 vec 算子把矩阵方程 AXB = C 线性化：vec(AXB) = (B^T ⊗ A) vec(X)。