对偶基

对偶基是附着于所选基的一组精心调校的『坐标读取器』：每一个都输出向量沿恰好一个基方向的坐标，而忽略其余所有方向。若你的基为各方向命名，对偶基便交给你写在每个方向旁的那些数。

设 V 在 K 上有限维、带基 e_1, ..., e_n。V* 的对偶基 e_1*, ..., e_n* 由克罗内克条件 e_i*(e_j) = δ_ij 定义，当 i = j 时为 1、否则为 0。这 n 个泛函线性无关且张成 V*，故确为一组基；对任意向量 v = Σ c_i e_i 有 e_i*(v) = c_i，即第 i 个坐标。

对偶基给出具体的同构 V ≅ V*（依赖于基、并非典范），并支撑张量分析中的指标记法：把张量写成坐标，就是将其按基向量 e_i 与对偶基余向量 e_j* 的张量积展开。改变 V 的基会使对偶基按逆转置矩阵改变——这正是为何说向量逆变、余向量协变。