遗忘函子

遗忘函子是把“忽略结构”这一日常动作形式化。群是带有额外资料的集合——一个乘法、一个单位元、逆元——若干脆忘掉这些额外资料，剩下的便是一个普通集合与一个普通函数。遗忘函子恰好执行这种丢弃，系统地、并且对态射也如此，把每个同态送到其底层函数。名字虽朴素，遗忘函子却组织起大量代数。

并无把“遗忘”从其他函子中孤立出来的形式定义；此词是描述性的。典型例子有 U : Grp -> Set、U : Ring -> Ab（忘掉乘法，保留加法群）、U : Top -> Set，以及 U : Ab -> Grp（忘掉交换性，这是一个忘掉性质而非资料的包含）。遗忘函子通常忠实——它不会弄混哪个态射是哪个——但鲜有充满。

其重要性在于它们如此频繁地拥有左伴随，即对应的自由函子，它构作携带被遗忘结构、不施加任何关系的泛对象。自由群、自由模、自由幺半群、张量代数与群环都作为遗忘函子的左伴随出现。因为在这些情形下遗忘函子是右伴随，它们保持一切极限——这正是为何群之积的底层集合就是各底层集合之积。