因子组

因子组是群扩张内部如何相乘的精确说明书。当你用正规子群 A 与商 Q 造群 E 时，要为 Q 的每个元素在 E 中各挑一个代表元；但两个代表元之积未必是积的代表元——它会多出 A 中的一个元素。因子组记录所有这些差额，而要求 E 中乘法结合，便化为因子组上的一个干净方程。

给定扩张 1 -> A -> E -> Q -> 1，A 阿贝尔，并选定集合截面 s : Q -> E，因子组是由 s(g)s(h) = f(g, h) · s(gh) 定义的函数 f : Q × Q -> A。E 的结合律迫使 2 阶上闭链恒等式 g·f(h, k) - f(gh, k) + f(g, hk) - f(g, h) = 0 成立。换一个截面会使 f 改变一个 2 阶上边缘，故 [f] 在 H^2(Q, A) 中的类是扩张的不变量。反之，每个 2 阶上闭链在 A × Q 上定义一个实现该类的群运算。

因子组给出 H^2 最具操作性的描述：H^2(Q, A) 的一个元素就是一个差上边缘的因子组。同一套数据出现在中心单代数理论中的交叉积代数里，那里伽罗瓦群上的一个因子组拼装出除环结构，而其上同调类即该代数在布饶尔群中的类。正规化 f(1, g) = f(g, 1) = 0 对应于取 s(1) = 1，总是可行的。