同调代数
左正合函子
函子对正合序列的友好程度各有不同。左正合函子尊重短正合序列的左半部分——它保持核的存在以及起点处的单射性——但可能在右端失效，丢掉满射性。设想一种翻译，它忠实地呈现一句话的开头与中间，却把最后一个词译得乱七八糟：失败集中在一端，而正是这种集中使之可度量。
形式地说，加性（协变）函子 F 是左正合的，若对每条短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0，序列 0 -> F(A) -> F(B) -> F(C) 都正合。等价地，F 保持一切有限极限，尤其是核与有限积。典范例子是对固定模 M 的 Hom(M, -)：把它施加于短正合序列会保持单射性以及中间的正合性，但诱导映射 Hom(M, B) -> Hom(M, C) 未必满。反变函子如 Hom(-, M) 称为左正合，若它把短正合序列变为 0 -> F(C) -> F(B) -> F(A)。
右正合性的缺陷恰好是右导出函子所修复的：F 左正合，正是为了使 R^0 F = F，并让更高的 R^n F 接续起来构成长正合序列。对偶地，右正合函子（以张量积为范本）保持右端，由左导出函子修正。既左正合又右正合的函子称为正合函子，其导出函子在正次数处消失。
把 Hom(Z/2Z, -) 施加于 0 -> Z -> Z -> Z/2Z -> 0（第一个映射乘以 2）。得到 0 -> 0 -> 0 -> Z/2Z，因为 Hom(Z/2Z, Z) = 0 而 Hom(Z/2Z, Z/2Z) = Z/2Z。左半部分保持正合；映到最后一项的满射性失效，所缺的那一块正是 Ext^1。
Hom 是左正合的；右正合性的失败由 Ext 度量。
另见