条形分解
条形分解是把群上同调的抽象定义转化为可供计算的显式函数的万有配方。导出函子可用任意自由分解来定义，但要真正写下上闭链，你需要一个具体的；条形分解对每个群给出同一套分解，它从群自身的元素同义反复地构造出来。其名源于一种用竖线分隔元素的旧记号。
对群 G，条形分解是平凡模 Z 的自由 Z[G] 分解，其第 n 项 B_n 是以符号 [g_1 | g_2 | ... | g_n] 为基的自由 Z[G] 模（B_0 = Z[G]，以空符号为基）。边界映射 d : B_n -> B_{n-1} 是交错和 d[g_1 | ... | g_n] = g_1·[g_2 | ... | g_n] + Σ_{i=1}^{n-1} (-1)^i [g_1 | ... | g_i g_{i+1} | ... | g_n] + (-1)^n [g_1 | ... | g_{n-1}]。对此分解施加 Hom_{Z[G]}(-, A)，恰好得到由函数 G^n -> A 构成的非齐次上链复形。
因此条形分解正是为何上闭链与上边缘的操作性公式——1 次的交叉同态律、2 次的因子组恒等式——长成那个样子：它们不过是条形边界映射的对偶。正规化条形分解杀死任何含恒等元项的符号，给出一个更小的、链同伦等价的正规化上链复形，是实践中保持计算有限所用的。
在低次对条形分解取对偶：Hom(B_1, A) 是函数 G -> A，Hom(B_2, A) 是函数 G × G -> A；上边界 d^1 f(g, h) = g·f(h) - f(gh) + f(g) 恰是条形映射 d : B_2 -> B_1 的对偶。其核即交叉同态。
对条形映射取对偶便还原出显式的上链微分。
条形分解极其庞大——每个 B_n 以 |G|^n 个生成元为基——故它能证定理，却无法用于大群的直接计算。对具体的群，人们用一个小而高效的分解（如循环群的周期分解）来替换它，以计算同一上同调。