拟等距

设想从很远处看两幅地图，或戴上一副会忽略某固定尺度以下细节的模糊眼镜。一个街区与多出几条小巷的同一街区，从轨道上看完全一样；精确到一米的差别看不见。拟等距把『大尺度上是同一形状』形式化：它是度量空间之间的映射，可以拉伸、压缩、抖动距离，但只允许差一个有界的线性因子加上一个有界的加性误差。

从度量空间 X 到度量空间 Y 的映射 f 称为 (K, C)-拟等距嵌入，若对所有点 x, x' 有 (1/K)d(x, x') − C ≤ d(f(x), f(x')) ≤ K d(x, x') + C。若此外其像还是 C-稠密的（Y 中每点都在某个 f(x) 的 C 范围内），则 f 称为拟等距。拟等距是度量空间上的一种等价关系，比双 Lipschitz 更粗（它容许加性误差，且粗化后无需连续、甚至无需逐点良定义）。

Schwarz 与 Milnor 的关键定理指出：若群 G 在一个真测地度量空间 X 上以等距、真不连续且余紧的方式作用，则 G 配以任意字度量都与 X 拟等距。因此每个有限生成群都有良定义的拟等距型，而拟等距不变量——增长、端、双曲性、有限可表现性、几乎幂零性——都是群的真正不变量。几何群论在很大程度上就是在拟等距意义下研究群。