群的端

在群的凯莱图中走向无穷并问：你能朝多少种本质不同的方向逃逸？在直线上你可以走两个方向，左或右——两个端。在平面网格上所有遥远的区域都从外侧连通——只有一个端。端数所计的，是在删去任一巨大但有限的部分后、看剩下什么时，仍存在的通往无穷的连通『道路』数目。

精确地说，有限生成群 G 的端数，是对其凯莱图所有有限子集 K，取 K 的补集中无限连通分支数目的上确界——这一量与生成集无关，且在拟等距下不变。Hopf 的一个卓越定理（经 Freudenthal 细化）表明答案总是 0、1、2 或无穷：没有群恰有三个端。

每个取值都有结构含义。零端意味着群有限。两端意味着群几乎为无限循环（几乎为 Z）。无穷多个端，由斯托林斯著名的分裂定理，意味着该群沿某个有限子群非平凡地分裂为合并自由积或 HNN 扩张——几何迫使代数分解。单端是一般的、『在无穷处连通』的情形，包括 Z^2、曲面群以及人们遇到的大多数群。