合并自由积

取两个群，把它们粘起来——但只沿着一块共有的部分。设想两个各自独立的世界，恰好都含有某个公共子群的相同副本；你把这些副本等同起来，其余一切则自由混合。合并自由积就是包含二者的最经济的群，它在公共部分上保持一致，对其余部分之间不再强加任何巧合。

给定群 A、B 以及公共子群 C，连同单射 C 到 A 与 C 到 B，合并自由积 A *_C B 是普通自由积 A * B 对『将每个 c 属于 C 的两个像等同起来』这些关系的商。它正是群范畴中 A 与 B 沿 C 的推出，由泛性质刻画：同态 A *_C B 到 G 对应于来自 A 与来自 B、且在 C 上一致的一对同态。

其结构由一条正规形定理（施赖埃尔）控制：为 C 在 A 与 B 中各选陪集代表，A *_C B 的每个元素都有唯一表达式：c 乘以来自 A 与 B 的非平凡代表的交错乘积。一个关键推论是 A 与 B 都嵌入 A *_C B（这些映射是单射），所以合并积确实包含两个因子。当 C 平凡时，这便回到普通自由积 A * B。