HNN 扩张
假设一个群含有两个抽象同构、但位置不同的子群——好比一个结构的左右两半彼此镜像。HNN 扩张添加一个新元素，即『稳定字母』，它唯一的职责是把一个子群共轭到另一个之上，从而在更大的群中把那个同构具体实现为一个内自同构。它是合并积的自粘接对应物，而合并积粘接的是两个不同的群。
设 G 是群，H 与 K 是其两个子群，φ : H 到 K 是同构。HNN 扩张为 G*_φ = ⟨ G, t | t^(-1) h t = φ(h) 对所有 h 属于 H ⟩，其中 t 是新生成元（稳定字母）。布里顿引理给出正规形：约化字 g_0 t^(e_1) g_1 … t^(e_n) g_n 若无『夹挤』（既无子字 t^(-1) g t 其中 g 属于 H，也无 t g t^(-1) 其中 g 属于 K），则表示非平凡元素。特别地，G 嵌入 G*_φ。
希格曼、B. H. 诺伊曼与 H. 诺伊曼于 1949 年引入这一构造，用以证明每个可数群都嵌入某个 2 生成元群中。HNN 扩张在字问题不可解性（Novikov–Boone）中居于核心，正因为它们能由温顺的群造出狂野的群。它与合并积一道，是 Bass–Serre 理论据以重构所有作用于树的群的两种运算。
鲍姆斯拉格–索利塔群 BS(m, n) = ⟨ a, t | t^(-1) a^m t = a^n ⟩ 是 Z 的 HNN 扩张，取 H = mZ，K = nZ，φ 乘以 n/m。BS(1, 2) 可解，却以朴素的方式而言并不『剩余有限友好』，说明 HNN 扩张如何制造出奇异行为。
鲍姆斯拉格–索利塔群 BS(m, n) 是 HNN 扩张的典范例子。
从拓扑上看，HNN 扩张是这样一个空间的基本群：在 G 所对应的空间上接一个柱面 S^1 × [0,1]，把两端沿表示 H 与 K 的环路粘合。