在树上的作用

树是没有回路的图——尽管可以不断分叉，但除了原路返回，你永远回不到出发点。当一个群以对称（等距）作用于一棵树时，这种刚硬、无回路的形状迫使群的结构暴露无遗。元素把点移到哪里、固定哪些点，便成了一张可据以读出整个群的蓝图。树是理想的舞台，因为其几何如此受限，以至于群在其上的作用无所遁形。

具体地说，群 G 以自同构作用于单纯树 T——置换顶点与边、保持关联关系。可按行为对每个非平凡元素分类：椭圆元素固定某个顶点，而双曲元素沿唯一的不变测地直线（其轴）平移一个正的量，即其平移长度。若没有元素交换某条边的两端，则称该作用无翻转；总可以转到重心细分以确保这一点。

作用的结构由商图 T/G 连同顶点与边的稳定化子刻画，组装成一个群图。两种最简单的模式极具代表性：群作用于一棵只有单一边轨道和两个顶点轨道的树，构造出合并自由积；而单一边轨道与单一顶点轨道，则构造出 HNN 扩张。这部词典正是 Bass–Serre 理论。