尼尔森–施赖埃尔定理

取一个自由群——一个没有关系的群——然后看其中任意一个子群，无论选得多么古怪。尼尔森–施赖埃尔定理保证了一件干净的事：这个子群仍然是自由的。自由性是可遗传的。子群中没有潜伏的隐藏关系；『没有关系』这一性质从自由群完好地传给它所有的子群。

精确地说：自由群 F 的每个子群 H 本身都是自由群。当指数 [F : H] = n 有限且 F 有有限秩 r 时，施赖埃尔指数公式加以细化：此时 H 的秩为 1 + n(r − 1)。所以除非 n = 1 或 r = 1，自由群的有限指数子群的秩严格大于整个群——子群在秩上可以『更大』，这一现象在阿贝尔群中不可能发生。

最干净的证明是拓扑的，并且是几何群论的雏形。秩 r 的自由群是 r 个圆的楔和的基本群；子群 H 对应于该楔和的一个覆叠空间，它是一张图；而任何图的基本群都是自由的，其秩等于一减去欧拉示性数。尼尔森与施赖埃尔最初的组合证明（借助尼尔森变换与施赖埃尔陪集代表系）早于这一观点，但算出的是同样的答案。