巴斯–塞尔理论

巴斯–塞尔理论是两个世界之间一部完美的词典：一边是作用于树的群，另一边是沿子群粘接而成的群。它指出，看似几何的问题『我的群如何挪动一棵树？』与看似代数的问题『我的群如何由合并积和 HNN 扩张造出？』其实是同一个问题，且双向都有精确的翻译。有了在树上的作用，就有了造群的配方；有了这样的配方，就有了作用。

组织性的概念是群图：一个连通图，其每个顶点与每条边都带有一个群，并配有边群到两端顶点群的单射。其基本群通过逐边迭代的合并积与 HNN 扩张构造而成。基本定理指出：群图的基本群恰是允许在某棵树上（无翻转地）作用的群，并且可由作用的商图与顶点、边稳定化子重构出该群图。

此理论由让–皮埃尔·塞尔与海曼·巴斯发展（塞尔 1977 年的著作《树》），它使自由积、合并积、HNN 扩张及其迭代的结构在几何上一目了然。它是群的分裂、可及性结果、单关系群与曲面群具有丰富子群结构之证明，以及作用于更一般的树（实树、JSJ 分解）的现代理论的基础。