剩余有限群

设想一个无限群，也许庞大而复杂。你想检测某个特定的非单位元——确认它确实不是单位元。剩余有限性表明：你总能通过把群压缩成一个有限群、并使该元素在其中仍然存活来做到这一点。没有任何非平凡元素能对所有有限商隐形；群中的每一处区别都被某幅有限图景所见证。

精确地说，群 G 称为剩余有限的，若对每个 g ≠ 1 都存在有限群 F 与同态 φ : G 到 F 使 φ(g) ≠ 1。等价地，所有有限指数正规子群之交平凡；又等价地，G 以平凡核嵌入其有限商的逆极限（即其有限完备化／profinite 完备化）。此性质对子群与有限直积封闭，并被任何嵌入某剩余有限群的群所继承。

剩余有限性既普遍又有力。有限生成线性群是剩余有限的（马尔采夫定理），因而有限生成自由群、多重循环群、曲面群以及许多其他群都满足。关键地，马尔采夫注意到：有限表现的剩余有限群有可解的字问题——一边枚举关系以确认 w = 1，一边枚举有限商以确认 w ≠ 1，两路搜索中必有一路停机。然而并非所有群都剩余有限：无限单群与 BS(2, 3) 就不是。