双曲群

在平直的平面上，三角形可以很胖；它的三边向外弯出，中心远离任何一边。在负曲率的世界里——想象一个马鞍面，或双曲平面——三角形总是瘦的：每条边都紧贴另外两条，整个三角形是『细瘦』的。双曲群就是其凯莱图行为如同那个负曲率世界的群：每个测地三角形都细瘦，而且是一致地，无论多大。

经 Gromov 精确化：测地度量空间称为 δ-双曲的，若存在常数 δ ≥ 0，使得在每个测地三角形中每条边都落在另外两条之并的 δ-邻域内（细三角形条件）。有限生成群称为双曲群，若它的某个、等价地任意一个凯莱图对某 δ 是 δ-双曲的；这是拟等距不变量，故为群的性质而非所选生成元的性质。

双曲群既丰富又行为优美。它们是有限表现的，字问题与共轭问题可解（字问题为线性时间、自动的），满足线性等周不等式——即线性 Dehn 函数，并服从 Tits 择一性：每个子群要么几乎循环，要么含有秩 2 的自由群。例子包括所有有限群、自由群、亏格至少为 2 的曲面群，以及闭负曲率流形的基本群；在精确的概率意义下，一个『随机』的有限表现群是双曲的。