增长率

两个群也许都无界增长，但其中一个像扩张圆盘的面积那样温和地填满，另一个却像分叉的树那样每一步都翻倍。增长率为这种定性的节奏命名。它舍弃确切计数，只保留体制：半径 n 的球是像 n 的多项式那样增长，像指数那样增长，还是严格介于两者之间？

有限生成群称为多项式增长，若 β(n) ≤ C n^d 对某常数 C, d 成立；称为指数增长，若 β(n) ≥ a^n 对某 a > 1 成立（等价地，β(n)^(1/n) 的极限大于 1）；称为中间增长，若它快于任何多项式却慢于任何指数。这三类穷尽所有可能，且各自在拟等距下不变。指数增长率 lim β(n)^(1/n) 本身确实依赖于生成集，但它是否大于 1 则不依赖。

两个深刻的定理为这一不变量定下框架。Gromov 定理（1981）指出：有限生成群是多项式增长当且仅当它几乎幂零——这是从粗几何到代数结构的惊人桥梁。而 Grigorchuk 群（1984）通过给出一个真正中间增长的群解决了 Milnor 的问题，因此这一三分法并非二分法：中间地带确有居民。