字度量

一旦你能借助凯莱图在群中走动，你就能度量距离：从一个元素走到另一个元素需要多少步？字度量正好回答这一点。从单位元到元素 g 的距离，是把 g 拼写出来所需相乘的最少生成元（及逆）个数——即它的字长。g 与 h 之间的距离是 g^(-1)h 的字长，也就是从 g 到 h 的最短路线。

固定群 G 与对称生成集 S。字长 |g|_S 是使 g = s_1 s_2 … s_n（每个 s_i 属于 S）成立的最小 n，且 |1|_S = 0。于是 d_S(g, h) = |g^(-1)h|_S 在 G 上定义了一个真正的度量——对称、满足三角不等式、仅在相等元素上为零。当给凯莱图 Cay(G, S) 的每条边赋长度 1 时，它恰是该图的路径度量，并且是左不变的：d_S(xg, xh) = d_S(g, h)。

不同生成集给出不同的字度量，但对有限生成群而言，任意两者都是双 Lipschitz 等价的：存在常数 C 使得 (1/C)d_S ≤ d_T ≤ C d_S。所以尽管确切距离依赖约定，该度量在拟等距意义下是典范的，这正是 (G, d_S) 的粗几何不变量是群本身真正不变量的原因。