群表示（生成元与关系）

可以把构造一个群想象成用原料加一张规则清单。原料是一组生成元——你可以任意地把这些符号相乘、取逆，得到所有约化字。规则就是关系：你规定成立的等式，例如『r 等于单位元』。表现正是这套记账方式：列出生成元，列出关系，而群就是这些字在『仅受这些关系和群公理约束、别无其他』之下所能构造出的一切。

形式上，表现 ⟨ S | R ⟩ 表示商群 F(S) / N，其中 F(S) 是生成集 S 上的自由群，N 是关系子集合 R 的正规闭包（包含 R 的最小正规子群）。当群 G 同构于此商群时，称 G 由 ⟨ S | R ⟩ 给出表现。若 S 与 R 都有限，则称该表现有限；具有有限表现的群称为有限表现群，这比有限生成是严格更强的条件。

表现灵活却暗藏陷阱。同一个群有无穷多个表现，两个看上去截然不同的表现却可能定义同构的群——事实上，判定两个有限表现是否给出同构群（同构问题）在一般情形下是算法不可解的，判定给定字是否等于单位元（字问题）亦然。所以表现是一种紧凑的描述，而非透明的描述：它指定一个群，却并不因此就揭示该群的性质。