余积

余积是积的镜像，由把每个箭头反向而得。积是你能映入的泛对象，余积则是你能映出的泛对象——它把两个对象捆在一起，使得要定义一个从这捆出发的映射，只需分别定义来自每片的映射。直观上它是“把 A 与 B 并排放置”而不强加任何相互作用的最经济方式。

形式地说，A 与 B 之余积是一个对象 A ⊔ B，连同两个包含态射 i : A -> A ⊔ B 与 j : B -> A ⊔ B，在对偶意义下是泛的：对每个带有态射 f : A -> X 与 g : B -> X 的对象 X，存在唯一态射 [f, g] : A ⊔ B -> X 使 [f, g] ∘ i = f 且 [f, g] ∘ j = g。这恰是在对偶范畴中取的积，二者因而是完美的镜像。

尽管定义对称，余积在各范畴中却面貌迥异。在 Set 中余积是不交并；在 Vect 与阿贝尔群中，对有限多个因子它与积重合（即直和）；在 Grp 中它是自由积，一个真正庞大且非交换的对象；在交换环中它是在 Z 上的张量积。教训是：对偶是形式的，而具体答案则不然。