不可分解模

不可分解模是无法拆成两个更小非零片段的直和的模——它以单个连成一体的块出现。这是比单更弱、更微妙的概念：单模根本没有子模，而不可分解模可能满是子模，只要其中没有一个能作为直和项分裂出来。不可分解模才是直和分解真正的基本砖块。

非零 R-模 M 不可分解，如果 M = A ⊕ B（作为子模）迫使 A = 0 或 B = 0。每个单模都不可分解，但反之不然。一个干净的刻画：有限长度的模不可分解，当且仅当它的自同态环是局部环，即每个自同态要么幂零、要么是同构——没有可投影到某直和项的非平凡幂等元。

克鲁尔–施密特定理使不可分解模具有决定性意义：有限长度的模分解为不可分解模的直和，且该分解在同构与直和项重排的意义下唯一。在主理想整环上，不可分解的有限生成模恰好是 R 本身与素幂循环模 R/(p^n)；后者不可分解，但当 n ≥ 2 时远非单模，因为它含有就是不肯分裂出去的真子模。