子代数

子代数是一个代数中自给自足的一块：你在其内施加运算，永远不会跑出去。正如子群是对群乘法与逆封闭的子集、子环对加法与乘法封闭，子代数是对母代数每个运算封闭的子集——一个按同样规则运转的更小世界。

严格地说，设 A 为 Σ-代数。A 的非空子集 B 是子代数，若对每个元数为 n 的运算符号 f 及一切 b_1, ..., b_n 属于 B，元素 f^A(b_1, ..., b_n) 仍落在 B 中；特别地 B 须含每个常量。于是 B 连同限制运算本身就是一个 Σ-代数，且包含映射 B -> A 是同态。由子集 X 生成的子代数是含 X 的最小子代数，等价地即以 X 中元素为自变量的全体项之值的集合。

一个微妙却重要之处：封闭性须针对签名中真正具有的运算来检验。群中对乘法封闭但对逆不封闭的子集是子半群、而非子群——故某物是否为子代数取决于你声明了哪些运算。固定代数的全体子代数按包含排序构成一个完备格，是把泛代数与格论相联系的基本例子。