多項式環

多項式環是你把一個或多個「自由的」不定符號添加到基環上，讓它們與原有元素相加相乘、且彼此之間不附加任何關係所得到的環。它是「讓一個環生長」最基本的方式，也是代入運算的泛用居所：凡是你能為變量代入的，都可以代入。

給定交換環 R，多項式環 R[x] 由一切有限形式和 a_n x^n + ... + a_1 x + a_0（係數 a_i 屬於 R）構成，逐係數相加，並按通常的卷積法則相乘。迭代即得多變量的 R[x_1, ..., x_n]。其定義性的泛性質是：R[x] 是單生成元上的自由交換 R-代數——從 R[x] 出發的同態由 x 的像的自由選擇所唯一決定。

多項式環是代數的主力。希爾伯特基定理說：只要 R 是諾特環，R[x] 就是諾特環；高斯引理說：只要 R 是唯一分解整環，R[x] 就是唯一分解整環。在域上，k[x] 是歐幾里得整環從而是主理想整環，但 k[x, y] 兩者都不是——理想 (x, y) 需要兩個生成元。從幾何上看，k[x_1, ..., x_n] 是仿射 n 維空間的坐標環，故其理想編碼多項式方程組及其解集。