坐標環

如果說簇是一個形狀,那麼它的坐標環就是你能在該形狀上做的一切多項式「測量」的總和。兩個在簇的每一點上都相等的多項式是同一種測量,因此坐標環就是把這種冗餘商掉後的多項式環。它把全部幾何打包進單一的代數對象。

確切地說,對 A^n 中的仿射簇 X,坐標環是 k[X] = k[x_1, ..., x_n] / I(X),其中 I(X) 是在 X 上恆為零的全部多項式構成的理想。其元素是 X 上的正則(多項式)函數,而在代數閉域上,由零點定理,其極大理想與 X 的點一一對應。這是代數-幾何字典的核心:簇之間的態射 X 到 Y 反變地對應於 k-代數同態 k[Y] 到 k[X]。

環的性質從簇的幾何中讀出。k[X] 約化(無非零冪零元)恰因 I(X) 是根理想;它是整環恰當 X 不可約;其克魯爾維數等於 X 的維數。一個有限生成的約化 k-代數與仿射簇是同一份資料——這一抽象由後來的仿射概形觀點通過捨棄約化性假設而最終完成。