簇的理想

給定空間中的一個形狀,你可以問:它滿足哪些多項式方程?把在該形狀上恆為零的每一個多項式收集起來,就得到簇的理想。它是幾何的代數投影,是把理想送往其零點集那個映射的逆方向。

形式上,對仿射 n 維空間的子集 X,I(X) 是 k[x_1, ..., x_n] 中使得對所有 a in X 都有 f(a) = 0 的 f 之集。它是一個理想——恆為零之多項式的和與倍數仍恆為零——並且總是根理想,因為若 f^m 在 X 上為零,則 f 亦然。算子 V(零點集)與 I(理想)在理想與子集之間構成一個反序的伽羅瓦連接。

V 與 I 互相抵消得有多緊密?恆有 I(V(J)) 包含 J 的根,而 V(I(X)) 是 X 的扎里斯基閉包。希爾伯特零點定理在代數閉域上把第一個包含變為等式:I(V(J)) 等於 J 的根。於是根理想與扎里斯基閉集恰好對應,這正是代數-幾何字典的精確陳述,而它在非閉域上失效。