素理想

想想質數的行為方式：如果質數 p 整除乘積 a·b，那麼它必定整除 a 或整除 b。素理想恰好把這種「分裂」行為從數提升到理想上。它是「素性」在環論中的抽象，也是兩大理想家族中更基礎的那一個（另一族是極大理想）。

嚴格地說，在帶單位元的交換環 R 中，一個真理想 P（即 P ≠ R）稱為素的，如果只要 a·b 屬於 P，就有 a 屬於 P 或 b 屬於 P。一個等價且非常有用的刻畫是：P 是素的若且唯若它的補集 R \ P 在乘法下封閉（對乘積封閉且含 1）；另一個等價說法是商環 R/P 是整環。這三種視角——整除性、乘法補集、整環商——是同一事實的三副面孔。

素理想是代數幾何中的「點」：素譜 Spec(R) 就是全體素理想構成的集合，這是概形理論的基石。值得提醒的一點是：在非交換環中，定義必須用理想而非元素來表述（理想 P 是素的，如果對理想 A、B，A·B ⊆ P 蘊含 A ⊆ P 或 B ⊆ P），因為逐元素的版本太弱了。零理想是素的若且唯若 R 是整環。