商環

商環是你決定把某個理想中所有元素都當作零來對待時所得到的東西——你「模掉」這個理想，研究餘下的簡化算術。它是構造商群在環論中的對應物，也是給環施加關係的泛用方法。

給定環 R 與一個雙邊理想 I，商環 R/I 由陪集 a + I 構成，加法為 (a + I) + (b + I) = (a + b) + I，乘法為 (a + I)(b + I) = a·b + I。對 I 施加理想條件恰恰使陪集上的乘法良定義。自然投影 R → R/I，把 a 送到 a + I，是一個滿的環同態，其核為 I。

商環受第一同構定理支配：對從 R 出發的任何環同態 f，其像同構於 R/ker(f)。商的性質編碼了理想的性質——R/P 是整環若且唯若 P 是素理想，R/M 是域若且唯若 M 是極大理想。這部對照詞典把關於理想的問題轉化為關於商環的問題，並可反向轉回。