雙邊理想

在交換環裡，理想不過是一個你乘進去仍留在其中的集合。在非交換環裡乘法分兩邊，所以你必須問這個集合是否吸收來自左邊、右邊還是兩邊的乘積。雙邊理想是要求最嚴的那個：它吸收來自任一邊的乘法。它正是那種你可以對其取商仍得到一個環的子集，這便是它成為構造商的核心概念的緣由。

確切地說，環 R 的雙邊理想是一個加法子群 I，使得對每個 r 屬於 R 與 x 屬於 I 都有 r*x 屬於 I 且 x*r 屬於 I。左理想只要求第一個條件，右理想只要求第二個；雙邊理想恰是同時既左又右的子群。商 R/I 之所以繼承良定義的環結構，正因為 I 是雙邊的。

雙邊理想是環同態的核：一個子集是某個從 R 出發的同態的核當且僅當它是雙邊理想，此時同構定理與交換情形完全一樣運作。這便是該概念不可或缺的原因；單邊理想雖對模論重要，卻不是核，也不給出商環。

雙邊理想的供應量度量一個環離單有多遠。環為單恰當其僅有的雙邊理想是 0 與自身。引人注目的是，一個環可以充滿單邊理想卻幾乎沒有雙邊理想：域上的 M_n(k) 有許多左、右理想，卻是單的，除平凡的一對外沒有雙邊理想。