冪零理想

有些理想，如果你把它自乘足夠多次，就會徹底坍縮為零。它們是某種經過固定次數自反應後消失的物質的代數類比。冪零理想正是這樣的理想：它的某個有限次冪是零理想。這些理想是純粹的障礙——是一個環在能夠半單之前必須甩掉的污垢。

確切地說，環 R 的理想 I 是冪零的，若對某正整數 n 有 I^n = 0，其中 I^n 是由 I 的 n 個元素的一切乘積生成的理想。注意這比要求 I 的每個元素都冪零更強（那個較弱的條件定義冪零理想之外的 nil 理想）：冪零性要求一個統一的指數同時把所有乘積湮滅。

每個冪零理想都落在雅各布森根內，而在阿廷環中根本身是冪零的，所以對有限長環，根是唯一的最大冪零理想。這正是「半單阿廷環是沒有冪零理想的環」這一說法的確切含義：殺掉根而得到零，恰是沒有自我收縮污垢殘留的條件。

一個誠實的區分：冪零蘊含 nil，但一般而言反之不成立。對左阿廷環，二者對理想而言重合，這便是有限維代數舒適的原因；但克特猜想——詢問兩個 nil 左理想之和是否總是 nil——在完全的一般性下仍未解決，提醒我們 nil 與冪零在更廣闊處會分道揚鑣。