半單環

有些環乾淨地碎成互不相干的片段，毫無殘渣；另一些則有一塊黏附其上、抗拒分解的部分。半單環是乾淨的那種。其上每個模都完全裂成單片，毫無黏連——沒有內部根基，沒有阻礙分解的隱藏冪零污垢。它們是表示論運作得盡可能漂亮的環。

確切地說，環 R 是半單的，若把 R 視為其自身上的左模時它是單模的直和。幾個等價條件令其威力十足：R 半單當且僅當每個左 R-模都是單模的直和，當且僅當 R-模的每個短正合列都分裂，當且僅當每個 R-模都是投射的。該條件左右對稱，故此詞無須分邊。

在結構上，阿廷–韋德伯恩定理徹底將其釘死：環為半單當且僅當它是若干除環 D_i 上矩陣環 M_{n_i}(D_i) 的有限直積。所以半單環恰是用直積黏起來的一份有限的全矩陣代數清單，其模被完全理解。半單環自動既是阿廷的又是諾特的。

通往表示論的橋梁是馬施克定理：有限群 G 在域 k 上的群代數 k[G] 為半單，恰當 k 的特徵不整除 G 的階。這正是為何有限群的複表示分解為不可約表示，也是為何在整除特徵下的模表示論更難——那裡根基重新出現。