雅各布森根

雅各布森根是環中「對所有單模不可見」的那一部分——在每個最簡單的表示上都作用為零的元素。它衡量一個環離半單有多遠，把環中最退化的行為打包進一個可以商掉的理想裡。

對環 R，雅各布森根 J(R) 定義為 R 的所有極大左理想之交。值得注意的是，它等於所有極大右理想之交，故 J(R) 是雙邊理想。等價描述有：它是消滅每個單左 R-模的全體元素之集；它也是使得對一切 a、b 屬於 R 都有 1 − a·x·b 為單位的那些 x 之集。在交換環中，它就是所有極大理想之交。

雅各布森根的威力來自中山引理：若 M 是有限生成模且 J(R)·M = M，則 M = 0。模掉 J(R) 總能得到一個根為零的環（「雅各布森半單」環）。雅各布森根包含冪零根以及每個冪零理想；對阿廷環而言，兩種根重合，且 J(R) 冪零——這正是通往阿廷–韋德伯恩結構理論的入口。