冪零理想

冪零理想是完全由「升到某次冪便消失」的元素組成的理想——它的每一個成員都是冪零的，儘管所用的指數可能各不相同。它收集了環中「無窮小」或「幽靈」般的元素：那些非零卻在足夠多次自乘後變為零的元素。

環 R 的理想 I 稱為冪零理想（nil 理想），如果 I 中每個元素 x 都滿足 x^n = 0（對某個正整數 n，n 可依賴於 x）。這比理想為冪零的（nilpotent）更弱，後者要求單一一致的指數：I 是冪零的若 I^m = 0 對某個固定的 m 成立，即 I 中任意 m 個元素之積都為零。每個 nilpotent 理想都是 nil 理想，但 nil 理想未必 nilpotent。

冪零理想包含於雅各布森根之中：任何 nil 理想都包含在 J(R) 內，因為只要 x 冪零，1 − x 就是單位。在交換環中，全體冪零元本身構成一個理想，即冪零根，它是最大的 nil 理想，並等於所有素理想之交。對諾特環而言冪零根是 nilpotent 的，故 nil 與 nilpotent 的區別在此坍縮；而在一般環中這一區別確實存在，關於「兩個 nil 左理想之和是否仍 nil」的克特猜想至今著名地懸而未決。