交換代數
詣零根
環中某些元素在某種意義下無限地小：把它們升到足夠高的冪就坍縮為零。這樣的冪零元是幾何的代數幽靈——它們記錄著乾淨的幾何圖像看不見的「增厚」或模糊。詣零根把所有這些幽靈打包進一個理想之中，恰好度量一個環離沒有此類模糊還有多遠。
對交換環 R，詣零根 Nil(R) 是所有冪零元構成的集合：即滿足 a^n = 0（對某個正整數 n）的元素 a。這個集合是一個理想，而一個優美的事實是它等於 R 的所有素理想之交。當一個環的詣零根為零，即沒有非零冪零元時，稱它為既約環。商環 R/Nil(R) 總是既約的；從幾何上看，過渡到它就忘掉了無窮小增厚，只記住底層的點集。
等式 Nil(R) = 所有素理想之交 正是問題的核心：a 是冪零元當且僅當 a 落在每一個素理想中。要小心它與雅各布森根（所有極大理想之交）的對比——二者對許多環重合但一般而言不同，並且詣零根總是包含在雅各布森根之中。
在 Z/8Z 中，冪零元是 0, 2, 4, 6（因為 2^3 = 8 = 0），故詣零根為 (2) = {0, 2, 4, 6}。在 Z/12Z 中，由於 6^2 = 36 = 0，詣零根為 (6) = {0, 6}。
兩個小型有限環的詣零根。
詣零根就是零理想的根：Nil(R) = sqrt((0))。更一般地，任意理想 I 的根是 Nil(R/I) 的原像。
又稱
另見