理想的根

如果說理想是一組「為零的規則」，那麼它的根就是忘掉了重數的同一規則。理想 (x^2) 要求 x 二階為零；它的根 (x) 只要求 x 為零即可。取根剝去了無窮小的增厚，只保留底層的條件集——這恰是幾何所能看見的資訊。

給定交換環 R 的理想 I，其根 sqrt(I) 是所有滿足「某個正整數次冪 a^n 落在 I 中」的元素 a 之集合。它仍是一個理想，包含 I，且連取兩次根不改變結果：sqrt(sqrt(I)) = sqrt(I)。與自身的根相等的理想稱為根理想。I 的根也可內蘊地描述為：包含 I 的所有素理想之交。

零理想的根就是詣零根。素理想自動是根理想，但根理想未必是素理想——k[x, y] 中的 (xy) 是根理想（它等於 sqrt((xy))），卻不是素理想，因為它是兩個素理想 (x) 與 (y) 之交。在代數閉體上的零點定理下，根理想恰好是那些作為某個代數集的完整理想而出現的理想。