準素分解

整數唯一地分解為素數冪；理想也很想做到同樣的事。準素分解就是把理想分解成「類似素數冪」的部件的理想論類比，正如把 12 寫成 4 · 3 = 2^2 · 3——它把一個理想拆成稱為準素理想的片段，每個片段聚焦於單一的素理想。這正是一個複雜的子簇被分解為其不可約分量連同其周圍嵌入模糊的方式。

準素理想 Q 是指：R/Q 中的每個零因子都是冪零元；等價地，若 ab 落在 Q 中，則 a 落在 Q 中或 b 的某個冪落在 Q 中。準素理想的根是素理想，稱為它的相伴素理想，此時稱 Q 為「P-準素」。拉斯克－諾特定理斷言：在諾特環中每個理想 I 都是有限多個準素理想之交 I = Q_1 ∩ ... ∩ Q_r，並且可取此分解為極小的（無冗餘，且相伴素理想互不相同）。

唯一性是微妙而僅部分成立的。相伴素理想之集由 I 唯一確定，且屬於極小（孤立）素理想的準素分量是唯一的。但屬於嵌入素理想——真包含另一個相伴素理想的素理想——的分量並不唯一。經典例子 (x^2, xy) = (x) ∩ (x^2, xy, y^2) = (x) ∩ (x^2, y) 給出兩個不同的極小分解，它們共享嵌入素理想 (x, y)。