諾特環

諾特環是這樣一種環：在其中你永遠無法把理想嚴格地越做越大而不止——任何想要構造無盡遞增理想鏈的嘗試最終都必須停滯。這一有限性條件以艾米·諾特命名，是交換代數中最重要的「馴服」假設；幾乎所有出現在幾何與數論中的環都滿足它。

確切地說，環 R 稱為（左）諾特的，如果它滿足（左）理想上的升鏈條件：每條遞增理想鏈 I_1 ⊆ I_2 ⊆ I_3 ⊆ ... 都穩定下來，即從某處起 I_n = I_{n+1} = ...。兩個等價表述往往更方便：每個理想都是有限生成的；以及任何非空理想族關於包含都有極大元。

諾特環之所以無處不在，關鍵在於希爾伯特基定理：若 R 是諾特環，則多項式環 R[x] 也是。再結合諾特環的商仍是諾特環這一事實，便保證了域上或 Z 上的有限生成代數都是諾特環，這撐起了整個經典代數幾何。不過並非每個環都是諾特的——無窮多個變量的多項式環 k[x_1, x_2, x_3, ...] 就不滿足鏈條件。