交換代數
希爾伯特基定理
設想你擔心多元多項式可能隱藏著無限複雜的方程組——某個理想或許需要無窮多個生成元才能刻畫。希爾伯特基定理給出了極大的安心保證：只要你從一個良好的、有限可控的基環出發並過渡到多項式，就絕不會失去這種可控性。無論一組多項式條件如何描述，總能用其中有限多個把它捕捉住。
精確地說：若 R 是諾特環（每個理想都有限生成，等價地理想的升鏈必然穩定），則多項式環 R[x] 仍是諾特環。由歸納法，R[x_1, ..., x_n] 是諾特環，從而任何有限生成的 R-代數（這種多項式環的商）也是諾特環。取 R 為體 k 或整數環 Z，便保證了 k[x_1, ..., x_n] 與 Z[x_1, ..., x_n] 都是諾特環。
證明是一個巧妙的首項係數論證：給定 R[x] 的理想 I，把 I 中各次數多項式的首項係數收集起來，它們在 R 中構成有限生成的理想；把有限多個生成元提升回 R[x]，就得到 I 的一個有限生成集。誠實的告誡是：本定理只透過有限生成把諾特性向前傳遞——無窮多變量的 k[x_1, x_2, ...] 並不是諾特環，非諾特基環上的多項式環也不是。
在 k[x, y] 中，由所有常數項與線性部分為零的多項式構成的理想 (x^2, xy, y^2, x^3, ...) 是有限生成的——其實 (x^2, xy, y^2) 就夠了，儘管乍看之下你可能會列出無窮多個單項式。
正如定理所許諾的，有限多個生成元就足夠了。
這條定理是使代數幾何可處理的基石：它保證每個仿射代數集都能由有限多個多項式截出，並支撐著計算中所用的格羅布納基的存在性。
又稱
另見