交換代數
零點定理
Nullstellensatz——德文意為「零點定理」——是使代數與幾何成為同一事物兩面的橋樑。在代數一側你有多項式的理想；在幾何一側你有這些多項式取零的集合。定理說這兩個世界完美地相互映照：關於形狀的問題化為關於理想的問題，反之亦然，毫無資訊損失，前提是你在一個代數閉體上工作。
設 k 是代數閉體。弱零點定理說 k[x_1, ..., x_n] 的每個極大理想都形如 (x_1 - a_1, ..., x_n - a_n)，對應某點 (a_1, ..., a_n)，故一組沒有公共零點的多項式必生成整個環（即 1 落在該理想中）。強零點定理說：若多項式 f 在理想 I 的公共零點集 V(I) 上處處為零，則 f 的某個冪 f^m 落在 I 中；等價地 I(V(I)) = sqrt(I)。於是根理想與仿射代數集之間存在一個反包含的雙射對應。
k 為代數閉體這一假設至關重要：在實數上，x^2 + 1 沒有零點卻生成 R[x] 的一個真理想，破壞了弱形式。強形式中根的出現正是為什麼根理想（而非任意理想）才是正確的幾何對象——許多理想可以定義同一個零點集，而幾何只看見它們共同的根。
在 C 上，C[x, y] 中的理想 (x) 與 (x^2) 有相同的零點集，即直線 x = 0。強零點定理調和了這一點：sqrt((x^2)) = (x)，故幾何只看見根。
兩個理想，一個零點集，由根來調和。
它建立的字典——根理想對應代數集，素理想對應不可約集，極大理想對應點——是經典代數幾何的起點，也是環譜概念的動機。
又稱
另見