仿射簇

想像平面上的一條曲線,比如圓 x^2 + y^2 = 1。它是一個多項式方程的解集。仿射簇正是把這個想法推到極致:取任意一組多元多項式,考察它們同時為零的所有點。幾何(形狀)與代數(方程)成為同一對象的兩種視角。

確切地說,固定一個域 k,考慮 k 上的仿射 n 維空間 A^n。對 k[x_1, ..., x_n] 中的一組多項式 S,仿射簇 V(S) 是 A^n 中使得每個 f in S 都滿足 f(a) = 0 的點 a 的集合。由希爾伯特基定理,任何這樣的 S 都包含在一個有限生成理想中,因此有限多個多項式就足以切割出 V(S)。許多作者把「簇」一詞保留給不可約情形,而把一般對象稱為仿射代數集。

關於基域有一點需要注意。在代數閉域上,零點定理使簇與根理想之間的字典完全嚴密,於是這些點真正「看見」了全部代數。但在像實數這樣的非閉域上,方程 x^2 + 1 = 0 的點集為空,理想卻非平凡;概形觀點正是為修補這類不匹配而引入的。