扎里斯基拓撲

通常的拓撲用小球來度量鄰近。扎里斯基拓撲用多項式來度量鄰近:閉集是由方程刻畫出的集合,而開集是其補集,在那裡至少允許一個多項式取非零值。所得拓撲非常粗糙,精確地為代數而非分析量身定制。

在仿射 n 維空間上,閉集恰好是理想 I 的零點集 V(I);容易驗證它們對任意交與有限並封閉,因而構成某拓撲的閉集。在交換環 R 的素譜 Spec R 上,同樣的配方奏效:閉集為 V(I) = { 包含 I 的素理想 p },從而在素理想集上給出一個拓撲。兩幅圖景在經典點上一致,並把這一概念推廣到所有環。

以分析的標準看,扎里斯基拓撲很古怪。它幾乎從不是豪斯多夫的——在仿射直線上,任意兩個非空開集都相交,因為它們各自只略去有限多個點。不可約簇恰好是那些不能拆成兩個真閉子片的空間,而不可約空間的非空開子集是稠密的且仍不可約。這些特性並非缺陷;它們編碼了使代數幾何得以運作的剛性。