不可約簇

一對相交的直線其實是黏在一點的兩塊獨立部分;一個光滑的圓則是一塊不可分的整體。不可約性把這一直覺精確化:不可約簇是不能被誠實地拆成兩個更小閉部分的簇。它是「單一事物」的幾何概念。

形式上,一個非空拓撲空間(或簇)稱為不可約,若它不是兩個真閉子集之並,等價地若它的每個非空開子集都稠密,又等價地若任意兩個非空開集都相交。對仿射簇 X,這是其代數的性質:X 不可約當且僅當其理想 I(X) 是素理想,等價地其坐標環 k[X] 是整環。

每個簇都本質唯一地分解。在諾特空間中——而簇是諾特的——任何閉集都是有限多個不可約閉集之並,刪去多餘者後,這張不可約分支的清單是唯一的。於是不可約簇是不可分的原子,而一般的簇由有限多個原子黏合而成;這是理想的準素分解在幾何上的對應物。