仿射空間

仿射空間是代數幾何的空白畫布:僅僅是坐標元組,既沒有被特別標出的原點,也沒有強加的內積。它是繪製仿射簇的環境舞台,是普通坐標空間在代數幾何中的對應物。

作為點集,域 k 上的仿射 n 維空間 A^n 就是 n 元組 (a_1, ..., a_n) 構成的集合 k^n。使其幾何化的是附加結構:它帶有扎里斯基拓撲,其多項式函數環為 k[x_1, ..., x_n]。當 k 非代數閉時,人們通常仍把 A^n 視為一個函子,其在擴張 K 上的點是 K^n,於是 Q 上的 A^1 已經「知道」代數數。

有一處微妙之處把仿射空間與向量空間區分開來。作為抽象代數簇,A^n 沒有指定的零向量,也沒有內置的線性結構;人們可以自由地把原點平移到任意處。在概形語言中,A^n 成為多項式環的 Spec,其點不僅包含經典的元組,還包含對應於較低素理想的一般點。