體上的向量空間

向量空間是一些可以相加、也可以放大或縮小的對象的集合。「縮放」由取自某個固定體的數完成，這些數稱為純量。想想平面上的箭頭：你可以把兩個箭頭首尾相接地相加，也可以用任意實數把一個箭頭拉長或縮短。平面就是實數上的一個向量空間。

確切地說，體 K 上的向量空間是一個集合 V，配有向量的加法以及向量與 K 中純量的乘法，滿足自然的規則（加法可交換、可結合，有零向量與負元；縮放對加法滿足分配律，並與體的乘法相容）。每個這樣的空間都有維數：一組基（極小生成集）中向量的個數。

在伽羅瓦理論中，這就是那把捲尺。任何體擴張 L/K 都可以看成 K 上的向量空間：你可以把 L 中的元素相加，並用 K 中的元素去乘它們。它作為 K-向量空間的維數就是擴張的次數，記作 [L : K]——這個確切的數量化了 L 比 K 大了多少。