近世代數：伽羅瓦理論及其拓展
極小多項式
如果一個數在某個體上是代數的，可能有許多多項式以它為根——但在所有這些多項式中，存在一個最簡單、最精煉的，恰好刻畫了它。這就是它的極小多項式：以它為根、首項係數為 1（首一）、係數取自基體的最低次多項式。可以把它看作這個數的代數指紋。
確切地說，對在 K 上代數的元素 a，它的極小多項式是 K[x] 中滿足 m(a) = 0 的次數最低的唯一首一多項式 m(x)。兩個關鍵事實：它在 K 上不可約（不能在 K 上分解為更低次多項式的乘積），並且它整除 K 上每一個以 a 為根的多項式。正是這種整除性使它「極小」。
極小多項式的次數等於單擴張 K(a)/K 的次數——也就是 K(a) 作為 K 上向量空間的維數。所以這一個多項式同時告訴你 a 滿足的不可約方程式，以及添加 a 後體恰好變大了多少。
虛數單位 i 在實數上的極小多項式是 x^2 + 1：它是首一的，以 i 為根（i^2 + 1 = 0），在 R 上不可約，且沒有任何 1 次實係數多項式能以 i 為根。
x^2 + 1 是 i 在 R 上的極小多項式。
同一個元素在不同的基體上可以有不同的極小多項式。在有理數上，sqrt(2) 的極小多項式是 x^2 - 2；而在實數上（sqrt(2) 已經在其中），它的極小多項式只是 x - sqrt(2)。
又稱
另見