體擴張

設想你手頭只有有理數，卻很想寫下 sqrt(2)，可它並不在有理數裡。於是你建構一個更大的數系，包含全部有理數，再加上 sqrt(2) 以及由它們經過加、減、乘、除所能得到的一切。這個更大的數系就是有理數體的一個體擴張：一個把你原來的體原封不動地裝在裡面的更大的體。

嚴格地說，若 K 是一個體，而更大的體 L 包含 K（且加法、乘法相同），就稱 L 是 K 的體擴張，常記作 L/K（讀作「L 在 K 之上」——這並不是除法）。K 稱為基體，L 稱為擴體。關鍵在於 L 給了你餘地，去求解那些 K 中無法求解的方程式，或容納 K 中沒有的數。

體擴張是伽羅瓦理論的核心對象。透過衡量 L 比 K 大了多少，以及 L 擁有哪些保持 K 不動的對稱性，我們就把關於方程式的問題轉化為關於群的問題。後面幾乎所有內容都是這一個想法的精細化：先把體擴大，再研究這次擴大。