代數擴張

你往一個體裡添加的某些新數是「溫馴」的：每一個都是某個以舊體中元素為係數的真正多項式方程式的解。sqrt(2) 是溫馴的，因為它滿足 x^2 - 2 = 0。代數擴張就是這樣一種擴張：每一個新元素都在這個意義下是溫馴的——沒有任何狂野的東西混進來。

確切地說，擴張 L/K 稱為代數擴張，如果 L 中每個元素都是某個以 K 中元素為係數的非零多項式的根。這樣的元素稱為在 K 上代數的。與之相反的是超越元素，它根本不滿足 K 上的任何多項式。所以「代數擴張」意味著：不出現任何超越元素；你添加的一切都被某個方程式釘死。

每個有限擴張（即作為 K 上向量空間是有限維的擴張）自動是代數擴張——裡面根本沒有容納超越元素的餘地。反之不成立：代數擴張可以是無窮維的，例如有理數上全體代數數構成的體。